俗话说,一张图片值 1,000 字,但一群来自哈佛的科学家希望它也能值同样数量的方程。绘画法则似乎将来自不同、跨学科的知识领域的思想统一起来,将它们像达芬奇绘画中的元素一样精美地联系在一起。该小组正在努力扩展由数学和理论科学的兰登·T·克莱教授和博士后研究员刘正伟于去年首次提出的图形数学语言。

“你可以从这个词中去掉一个词:兴奋,”贾菲说。“那是因为我们不只是试图在这里或那里解决问题,而是试图通过开发和使用基于二维、三维和更多维度图片的不同数学语言,开发一种新的数学思维方式。 .”

去年,他们创建了一种名为 quon 的 3D 语言,用于理解与量子信息理论相关的概念。现在,新的研究提供了诱人的暗示,表明 quon 可以为数学的许多其他领域提供见解,从代数到傅立叶分析,以及理论物理学,从统计物理学到弦论。研究人员在 1 月 2 日发表在《国家科学院院刊》上的一篇论文中描述了他们对该项目的看法。

“在过去的一年里,这项工作发生了很大的变化,我们认为这只是冰山一角,”贾菲说。“我们发现我们用于量子信息的想法与更广泛的主题相关。我们非常感谢获得邓普顿宗教信托基金的资助,使我们能够在去年夏天组建一个研究团队来追求该项目进一步包括本科生、研究生和博士后,以及其他机构的高级合作者。”

核心团队包括今年哈佛客座教授 Adrian Ocneanu、Vaughan Jones 和 Alina Vdovina 等杰出数学家。同样重要的是从世界各地来到哈佛的冉冉升起的新星,包括哈尔滨工业大学的吴劲松和纽卡斯尔大学最近的毕业生威廉·诺利奇。参与的还有学生,如该项目的原始成员之一、现为新加坡南洋理工大学学生的亚历克斯·沃兹尼亚科夫斯基、杭州浙江大学的访问研究生卜凯峰、科学院的顾伟臣和薛博清北京科学学院、哈佛大学研究生 Sruthi Narayanan 和西北大学和哈佛大学本科生 Chase Bendarz。

虽然图像自古以来就用于数学,但 Jaffe 及其同事认为,该团队的方法包括将图片普遍应用于数学并使用图像来探索数学与物理和认知科学等学科之间的联系,可能标志着一个新领域。

在团队已经能够解决的问题中,刘说,是一种思考傅立叶分析的图形方式。

“我们在 Ocneanu 的几个想法的推动下开发了这个,”他说。“立即,我们用它来提供对量子信息的新见解。但我们也发现我们可以证明公式 6j 符号的精心代数恒等式,”这是表示论、理论物理和化学中的标准工具。

这个身份是在一个基本案例中发现的,但哈佛数学家沙米尔·沙基洛夫推测它在一般形式中是正确的。该小组现已在 arXiv.org 上发布了一份证明,该证明正在审查中,以便在今年晚些时候发布。该小组仅使用几何傅立叶变换就理解的另一个非常通用的恒等式家族被称为 Verlinde 融合公式。

“通过查看图片的数学分析,我们还发现了一些真正出乎意料的新不等式。它们概括了 [Werner] Heisenberg 和 [GH] Hardy 著名的不确定性原理,并成为更大故事的一部分,”刘说。“所以图片语言本身的数学很容易理解。然后我们会看到它们对其他主题的影响。”

“我对这个项目非常感兴趣,因为在此之前,我正在研究量子信息,但我知道这样做的唯一方法是使用线性代数,”布说。“但是与 Arthur 和 Zhengwei 合作,我们已经能够使用这种图形语言来推导出我们可以用来开发新量子协议的新想法和几何工具。它们已经很有用,我们预见这些想法可能会广泛- 未来的范围广泛的应用。

“我认为,我们可以使用简单的图形语言来描述非常复杂的代数方程,这真是太神奇了,”布继续说道。“我认为这不仅是一种新方法,而且是数学的一个新领域。”

Ocneanu 插话说:“最终,高维图像语言所做的是以自然的方式将空间结构转化为数学。”

他说,虽然传统的线性代数将 3-D 概念扁平化为一行方程,但图片语言允许科学家使用 3-D 和更高维空间来翻译他们周围的世界。

“空间,或者更普遍的时空,是一种计算机器,”Ocneanu 说。“我们真的应该将空间正在做的事情转化为数学家使用的东西,这样我们才能解读空间的结构。”

对于 Norledge 来说,新的数学语言从少数相对简单的概念构建为复杂的理论的方式引人注目。

“我的背景是表示论;我的论文是在称为几何群论的数学领域,”他说。“因此,在使用图片和几何对象的背景下,以这种方式应用数学是有帮助的。我们仍在努力实现这一点,但如果这一切都通过并成功,你就会得到一个非常美丽的数学领域你从几个公理开始,从那开始,你就可以用这个美丽的结构概括这个非常重要的理论。”

“我们希望最终人们可以在新的理论物理模型以及一些实用术语中实现我们正在研究的想法,”Jaffe 说。“要分享我们的兴奋,请查看我们的网站。”