【概率论数理统计置信区间的一个题求解】在概率论与数理统计的学习过程中，置信区间是一个非常重要的概念，用于估计总体参数的可能范围。本文将通过一个典型例题，详细讲解如何计算总体均值的置信区间，并以加表格的形式展示结果，帮助读者更好地理解和掌握这一知识点。
一、题目背景
设某工厂生产的一种零件长度服从正态分布 $ N(\mu, \sigma^2) $，现从中随机抽取了 16 个样本，测得样本均值为 $ \bar{x} = 50.2 $，样本标准差为 $ s = 2.4 $。要求在显著性水平 $ \alpha = 0.05 $ 下，求总体均值 $ \mu $ 的置信区间。
二、解题步骤
1. 确定置信水平
显著性水平 $ \alpha = 0.05 $，对应的置信水平为 $ 1 - \alpha = 0.95 $。
2. 选择合适的分布
由于总体方差未知，且样本容量较小（$ n = 16 < 30 $），应使用 t 分布进行推断。
3. 查找 t 分布临界值
自由度 $ df = n - 1 = 15 $，查 t 分布表得 $ t_{\alpha/2} = t_{0.025} = 2.131 $。
4. 计算标准误差
标准误差 $ SE = \frac{s}{\sqrt{n}} = \frac{2.4}{\sqrt{16}} = 0.6 $
5. 计算置信区间
置信区间公式为：
$$
\bar{x} \pm t_{\alpha/2} \cdot SE
$$
即：
$$
50.2 \pm 2.131 \times 0.6
$$
计算得：
$$
50.2 \pm 1.2786
$$
6. 得出最终结果
置信区间为：
$$
(48.9214,\ 51.4786)
$$
三、总结与表格展示
| 项目 | 内容 |
| 样本均值 $ \bar{x} $ | 50.2 |
| 样本标准差 $ s $ | 2.4 |
| 样本容量 $ n $ | 16 |
| 自由度 $ df $ | 15 |
| 显著性水平 $ \alpha $ | 0.05 |
| 置信水平 $ 1 - \alpha $ | 0.95 |
| t 分布临界值 $ t_{\alpha/2} $ | 2.131 |
| 标准误差 $ SE $ | 0.6 |
| 置信区间下限 | 48.9214 |
| 置信区间上限 | 51.4786 |
四、结论
通过上述分析可知，在给定的条件下，总体均值 $ \mu $ 的 95% 置信区间为 $ (48.9214,\ 51.4786) $。这表明我们有 95% 的把握认为该工厂生产的零件平均长度落在这个区间内。
理解并掌握置信区间的计算方法，有助于我们在实际问题中对总体参数做出合理的推断和判断。