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概率论数理统计置信区间的一个题求解

2025-07-14 05:17:41

问题描述:

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2025-07-14 05:17:41

概率论数理统计置信区间的一个题求解】在概率论与数理统计的学习过程中,置信区间是一个非常重要的概念,用于估计总体参数的可能范围。本文将通过一个典型例题,详细讲解如何计算总体均值的置信区间,并以加表格的形式展示结果,帮助读者更好地理解和掌握这一知识点。

一、题目背景

设某工厂生产的一种零件长度服从正态分布 $ N(\mu, \sigma^2) $,现从中随机抽取了 16 个样本,测得样本均值为 $ \bar{x} = 50.2 $,样本标准差为 $ s = 2.4 $。要求在显著性水平 $ \alpha = 0.05 $ 下,求总体均值 $ \mu $ 的置信区间。

二、解题步骤

1. 确定置信水平

显著性水平 $ \alpha = 0.05 $,对应的置信水平为 $ 1 - \alpha = 0.95 $。

2. 选择合适的分布

由于总体方差未知,且样本容量较小($ n = 16 < 30 $),应使用 t 分布进行推断。

3. 查找 t 分布临界值

自由度 $ df = n - 1 = 15 $,查 t 分布表得 $ t_{\alpha/2} = t_{0.025} = 2.131 $。

4. 计算标准误差

标准误差 $ SE = \frac{s}{\sqrt{n}} = \frac{2.4}{\sqrt{16}} = 0.6 $

5. 计算置信区间

置信区间公式为:

$$

\bar{x} \pm t_{\alpha/2} \cdot SE

$$

即:

$$

50.2 \pm 2.131 \times 0.6

$$

计算得:

$$

50.2 \pm 1.2786

$$

6. 得出最终结果

置信区间为:

$$

(48.9214,\ 51.4786)

$$

三、总结与表格展示

项目 内容
样本均值 $ \bar{x} $ 50.2
样本标准差 $ s $ 2.4
样本容量 $ n $ 16
自由度 $ df $ 15
显著性水平 $ \alpha $ 0.05
置信水平 $ 1 - \alpha $ 0.95
t 分布临界值 $ t_{\alpha/2} $ 2.131
标准误差 $ SE $ 0.6
置信区间下限 48.9214
置信区间上限 51.4786

四、结论

通过上述分析可知,在给定的条件下,总体均值 $ \mu $ 的 95% 置信区间为 $ (48.9214,\ 51.4786) $。这表明我们有 95% 的把握认为该工厂生产的零件平均长度落在这个区间内。

理解并掌握置信区间的计算方法,有助于我们在实际问题中对总体参数做出合理的推断和判断。

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