【求导公式介绍】在微积分中，求导是研究函数变化率的重要工具。掌握常见的求导公式对于数学学习和实际应用都具有重要意义。本文将对一些基本的求导公式进行总结，并以表格形式展示，便于查阅与记忆。
一、基本求导公式总结
1. 常数函数的导数
若 $ f(x) = C $（C 为常数），则其导数为：
$$
f'(x) = 0
$$
2. 幂函数的导数
若 $ f(x) = x^n $（n 为实数），则其导数为：
$$
f'(x) = n \cdot x^{n-1}
$$
3. 指数函数的导数
- 若 $ f(x) = a^x $（a > 0, a ≠ 1），则：
$$
f'(x) = a^x \ln a
$$
- 若 $ f(x) = e^x $，则：
$$
f'(x) = e^x
$$
4. 对数函数的导数
- 若 $ f(x) = \log_a x $（a > 0, a ≠ 1），则：
$$
f'(x) = \frac{1}{x \ln a}
$$
- 若 $ f(x) = \ln x $，则：
$$
f'(x) = \frac{1}{x}
$$
5. 三角函数的导数
- $ f(x) = \sin x $，导数为：
$$
f'(x) = \cos x
$$
- $ f(x) = \cos x $，导数为：
$$
f'(x) = -\sin x
$$
- $ f(x) = \tan x $，导数为：
$$
f'(x) = \sec^2 x
$$
- $ f(x) = \cot x $，导数为：
$$
f'(x) = -\csc^2 x
$$
6. 反三角函数的导数
- $ f(x) = \arcsin x $，导数为：
$$
f'(x) = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}
$$
- $ f(x) = \arccos x $，导数为：
$$
f'(x) = -\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}
$$
- $ f(x) = \arctan x $，导数为：
$$
f'(x) = \frac{1}{1 + x^2}
$$
二、常见求导公式一览表
| 函数表达式 | 导数表达式 |
| $ f(x) = C $ | $ f'(x) = 0 $ |
| $ f(x) = x^n $ | $ f'(x) = n x^{n-1} $ |
| $ f(x) = a^x $ | $ f'(x) = a^x \ln a $ |
| $ f(x) = e^x $ | $ f'(x) = e^x $ |
| $ f(x) = \log_a x $ | $ f'(x) = \frac{1}{x \ln a} $ |
| $ f(x) = \ln x $ | $ f'(x) = \frac{1}{x} $ |
| $ f(x) = \sin x $ | $ f'(x) = \cos x $ |
| $ f(x) = \cos x $ | $ f'(x) = -\sin x $ |
| $ f(x) = \tan x $ | $ f'(x) = \sec^2 x $ |
| $ f(x) = \cot x $ | $ f'(x) = -\csc^2 x $ |
| $ f(x) = \arcsin x $ | $ f'(x) = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} $ |
| $ f(x) = \arccos x $ | $ f'(x) = -\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} $ |
| $ f(x) = \arctan x $ | $ f'(x) = \frac{1}{1 + x^2} $ |
三、小结
求导是微积分的核心内容之一，掌握各类函数的导数公式有助于提高解题效率和理解数学本质。通过表格形式的整理，可以更清晰地对比不同函数的导数规则，便于记忆与应用。建议结合练习题不断巩固这些基础公式，从而提升对微积分的理解和运用能力。