【如何用短除法计算算术平方根】在数学中，算术平方根是一个数的非负平方根。例如，√16 = 4，因为 4² = 16。虽然我们可以通过计算器快速求出平方根，但了解如何用短除法来手动计算平方根也是一种重要的数学技能。短除法不仅可以帮助我们理解平方根的结构，还能用于因式分解和简化表达式。
下面将通过与表格形式，详细说明如何使用短除法计算算术平方根。
一、基本概念
- 平方根：一个数 a 的平方根是满足 x² = a 的数 x。
- 算术平方根：非负的平方根，记作 √a。
- 短除法：一种用于分解质因数的方法，常用于寻找最大完全平方因数。
二、步骤总结（短除法计算算术平方根）
1. 将被开方数分解质因数
使用短除法将原数分解为若干个质因数的乘积。
2. 配对相同的质因数
将相同质因数两两配对，每对可以提取到根号外。
3. 将成对的质因数取出
每对质因数可写为该质数的一次方，放在根号外。
4. 将未配对的质因数留在根号内
无法配对的质因数保留在根号内，作为最终结果的一部分。
5. 合并结果
根号外的数相乘，根号内的数保持不变，得到最终的算术平方根。
三、示例说明（以 √72 为例）
| 步骤 | 操作 | 说明 |
| 1 | 分解质因数 | 72 ÷ 2 = 36 → 36 ÷ 2 = 18 → 18 ÷ 2 = 9 → 9 ÷ 3 = 3 → 3 ÷ 3 = 1 因此，72 = 2 × 2 × 2 × 3 × 3 |
| 2 | 配对质因数 | 2² × 2 × 3² |
| 3 | 提取成对因数 | √(2² × 3² × 2) = 2 × 3 × √2 = 6√2 |
| 4 | 保留未配对因数 | √2 无法再分解，留在根号内 |
| 5 | 合并结果 | 最终结果为 6√2 |
四、其他例子对比
| 被开方数 | 分解质因数 | 成对因数 | 算术平方根 |
| 16 | 2⁴ | 2² × 2² | 4 |
| 25 | 5² | 5² | 5 |
| 48 | 2⁴ × 3 | 2² × 2² × 3 | 4√3 |
| 100 | 2² × 5² | 2² × 5² | 10 |
| 128 | 2⁷ | 2² × 2² × 2² × 2 | 8√2 |
五、注意事项
- 如果所有质因数都能配对，则结果为整数。
- 若有剩余未配对的质因数，则结果为最简根式。
- 短除法适用于任何正整数，但对大数操作较繁琐，建议结合计算器辅助验证。
六、结语
通过短除法计算算术平方根，不仅有助于提高数感，还能加深对平方根和因数分解的理解。掌握这一方法，对于学习代数、几何等后续数学内容也具有重要意义。