【傅里叶变换公式】傅里叶变换是一种将信号从时域转换到频域的重要数学工具，广泛应用于信号处理、图像分析、通信系统等领域。通过傅里叶变换，可以将一个复杂的时域信号分解为多个不同频率的正弦和余弦波的叠加，从而更清晰地理解其频谱特性。
以下是对傅里叶变换公式的总结与对比：
| 项目 | 连续时间傅里叶变换（CTFT） | 离散时间傅里叶变换（DTFT） | 离散傅里叶变换（DFT） |
| 应用场景 | 连续信号分析 | 离散信号分析 | 数字信号处理 |
| 公式形式 | $ X(f) = \int_{-\infty}^{\infty} x(t) e^{-j2\pi ft} dt $ | $ X(e^{j\omega}) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} x[n] e^{-j\omega n} $ | $ X[k] = \sum_{n=0}^{N-1} x[n] e^{-j2\pi kn/N} $ |
| 变换变量 | 频率 $ f $ | 归一化角频率 $ \omega $ | 离散频率索引 $ k $ |
| 是否周期性 | 周期性（关于频率） | 周期性（关于 $ \omega $） | 周期性（关于 $ k $） |
| 计算方式 | 积分 | 无限级数 | 有限项求和 |
| 适用对象 | 连续非周期信号 | 离散非周期信号 | 离散有限长度信号 |
傅里叶变换的核心思想是：任何满足一定条件的函数都可以表示为一系列正弦和余弦函数的线性组合。这种分解使得我们可以从频域的角度分析信号的组成，便于滤波、压缩、调制等操作。
在实际应用中，由于计算机只能处理离散信号，因此通常使用离散傅里叶变换（DFT）或快速傅里叶变换（FFT）进行计算。FFT是DFT的高效算法，大幅提高了计算速度，使其在工程和科研中得到广泛应用。
总之，傅里叶变换不仅是理论上的重要工具，也是现代数字技术的基础之一。掌握其基本原理和应用场景，有助于深入理解信号与系统的本质特性。