导读 数学被认为是一种工具，可以为我们关于宇宙的问题提供正确答案。例如，数学可以正确预测，如果你有两个苹果，每天吃一个苹果，那么它们正好

数学被认为是一种工具，可以为我们关于宇宙的问题提供正确答案。例如，数学可以正确预测，如果你有两个苹果，每天吃一个苹果，那么它们正好能坚持两天。然而，有时数学产生的答案似乎与我们自己对宇宙的经验有悖常理，例如巴拿赫-塔斯基悖论，它指出一个实心球可以被切成几块，而这些块可以组合成两个实心球，每个球都有和原来的球一样大。

这些矛盾是否表明数学存在危机，无法解释宇宙的奥秘?不，他们只是迫使我们重新考虑我们如何处理这些问题。

理解宇宙

假设你和一个孩子在海边，你有一副双筒望远镜。你把望远镜递给孩子，建议她看海鸥。然而，与海鸥相比，她对你更感兴趣，所以在一分钟内她用双筒望远镜训练你，期待看到更大版本的你，而她只能看到模糊。

你们俩有事吗?不。双筒望远镜有问题。不会。您的孩子只是在他们可以产生有意义结果的范围之外使用双筒望远镜。同样，数学中违反直觉的陈述向我们展示了使用某些数学工具的有用范围的局限性。

我们从小就知道一个数学悖论：你不能被零除。这是因为数字和算术运算都是有用的工具，将这些工具组合在一起并尽可能地使用它们是合理的。

然而，数学并不是一个和谐的实体——它的工具可以很好地结合在一起，但并不完美。我们必须注意它们之间的差距。除法是有用的工具，零是有用的工具，但是除以零超出了除法的有用范围。

除了事实和悖论之外，数学还可以产生不寻常的模型，这些模型似乎有意与我们周围的世界分离。让我们考虑一个非常简单的例子。下图显示了一个打结的绳子。它的末端粘在一起，以防止它在以一种或另一种方式拉动时不打结。

像这样的结，不是轻轻一拉就能解开的，必须剪断。然而，另一种方法询问是否可以通过在某个想象空间而不是通常空间中考虑一个结来解开结。例如，上图中的结就是所谓的切片结，如果我们在四个空间维度而不是我们习惯的三维空间观察它，就可以很容易地解开它。

回答明天的问题

为什么数学家制作这些不寻常的模型很重要?一个原因是创建一个数学模型库，可以在未来科学需要时使用。换句话说，一旦我们对宇宙的了解跟上，这些模型中的一些就不再是梦幻般的了，而是可以开始变得完美了。

最著名的是非欧几何，它是 19 世纪中叶数学家作为思想实验发展起来的，它认为一些直线可能是弯曲的。它对 20 世纪相对论的发现变得不可或缺，该理论认为光不是直线传播，而是有时沿着曲线传播，甚至绕圆传播。

还有另一个原因需要注意不寻常的数学模型。并非所有这些模型都有机会直接应用于实验科学，但它们都可以扩展我们的想象力，并为我们接受新发现的科学现象做好适当的准备。这对于欣赏现代科学很重要。

有些人不了解或不相信大爆炸。这很可能是因为当他们试图想象一个没有我们所知的物质和我们所知的空间的宇宙时，他们的想象力失败了。想象与我们感知的空间不同的空间可能很困难。例如，很难想象，与我们的第一手经验相反，地球不是平的。

即使你知道地球是一个球体，但有些地方人们“倒立”走路，这可能看起来很奇怪。如果您意识到数学家不断考虑并成功处理违背我们直觉的空间模型，这可以让您相信，如果需要，人类和您个人都可以解决我们对空间的理解不合理的问题。