导读 虽然世界上大多数国家都依赖债务为其政府和经济提供资金，但控制债务是财务上的当务之急。巨额政府债务对长期经济增长产生负面影响。一国债

虽然世界上大多数国家都依赖债务为其政府和经济提供资金，但控制债务是财务上的当务之急。巨额政府债务对长期经济增长产生负面影响。一国债务的增加会导致私人投资减少，从而导致长期增长和工资下降。即使没有金融危机，高额债务也可能是有害的。

“经济和政治界对公共债务的可持续性存在巨大争论，”德国比勒费尔德大学数学金融学教授、该大学合作研究中心 1283 的首席研究员 Giorgio Ferrari 观察到。“使用不同的统计数据和方法论方法，许多研究人员得出结论，高政府债务对长期经济增长有负面影响，使经济对宏观经济冲击的弹性降低，并限制了反周期财政政策的采用。”

债务与国内生产总值 (GDP) 的比率是一个经济体财务杠杆的重要指标。“在上次金融危机期间，许多国家的债务与 GDP 的比率——也称为债务比率——呈爆炸式增长，”法拉利说，他在下周将在SIAM上发表的一篇论文中提出了控制这一比率的数学模型。控制和优化杂志。

为了将欠债的总预期成本降至最低并实施对债务比率的干预，政府会选择适当的减债政策，尽管这些政策并不总是旨在实现最高效率。

“目前尚不清楚政府是否根据优化标准来规划其减债政策，例如社会福利最大化或社会成本最小化，”法拉利说。“从这个意义上说，数学建模可以为此类选择提供理论背景，并可能对要遵循的政策提供见解。”

法拉利将这个问题建模为一个连续的奇异随机控制问题，并试图回答这个问题，“多少是太多了?——比如，在不影响增长的情况下，政府在多少债务水平上有助于偿还?对许多人来说发达国家的债务与 GDP 的比率远没有违约风险，因此提高税收或减少支出以减少债务的成本可能超过任何收益。

“在我的模型中，政府面临两种相反的成本，”法拉利解释说。“一方面，他们的目标是将债务导致的总预期机会成本降至最低。例如，这可能是由于私人投资排挤公共投资，为公共企业留下的空间减少，以及随后出现低增长的趋势. 另一方面，通过例如财政政策来减少债务，政府会承担与其行动幅度成正比的成本。政府适当平衡这两种成本很重要，这样的问题可以通过所谓的奇异随机控制问题进行数学建模。”

虽然高债务与 GDP 的比率会通过增加债务负担来限制经济进步，但政府干预策略也会带来与债务缓解程度成正比的惩罚。因此，理想的目标是选择一种累积债务削减政策，以限制承担债务的总预期成本和干预的总体成本。

“政府需要平衡债务成本并减少债务，这表明它应该遵循阈值策略——也就是说，只有当后者足够大时，它才应该进行干预以降低债务与 GDP 的比率，”法拉利指出出去。“在我的模型中，在其规划中，政府还考虑了该国当前的通货膨胀水平，该水平不受政府控制，而是由一个自治中央银行管理。因此，政府应该采取行动以阻止公共债务的增长取决于通货膨胀，而这个最佳阈值是作为解决问题的一部分而内在确定的。”

假设政府可以通过某些措施来降低债务相对于 GDP 的水平——比如增加税收或减少开支——法拉利团队将债务比率的集体干预解释为政府的控制变量。模型中的不确定性是通过给定国家的通货膨胀引入的。

“显然，实际上，在管理公共债务时，政府还应该考虑通货膨胀以外的宏观经济变量，例如利率、GDP 增长率和汇率，”法拉利说。“然而，为了有一个易于处理的数学问题，我决定只关注通货膨胀在政府面临的债务削减问题中的作用。”

法拉利表明，政府采取的政策是将债务与 GDP 的比率保持在与通货膨胀有关的上限之下的最佳做法。

在他的工作中，他证明了控制问题的解决方案与辅助最优停止问题的解决方案有关，该问题是根据债务的边际成本和对债务比率进行干预的边际成本。在最优停止问题中，政府以最小化相关总预期边际成本为目标，确定将债务比率水平再降低一个单位的最佳时间。求解最优停止问题就可以有效地解决控制问题。

未来的工作涉及使用有限的数据和政府无法控制的因素来减轻债务的方法。

“与合作者一起，我在比勒费尔德大学数学经济学中心的研究小组目前正试图调查战略问题如何进入画面，当政府只有部分有关宏观经济数量的信息时，政府如何以最佳方式降低债务比率，或者当债务利率是随机的并且受到不受其控制的经济冲击的影响时，可以最佳地增加或减少债务水平。”

旨在代表现实世界金融状况的数学模型在数学上既引人入胜又非常实用。

“我发现宏观经济数量的优化管理问题——比如公共债务、通货膨胀或汇率——从日常生活和数学的角度来看都非常有趣，”法拉利说。“它们导致了非常具有挑战性的数学问题，其中需要考虑多个变量之间的相互作用，包括宏观经济和金融数量以及政府、中央银行和金融机构等多个代理。我相信还有很多工作要做在此类问题的数学分析/建模中。”