三体问题的引人注目的数学挑战

从三百多年前牛顿在行星轨道上的工作的起源开始，三体问题已经发展成为一个丰富的主题，继续为数学家带来新的见解。加州大学圣克鲁斯分校的杰出数学教授理查德·蒙哥马利(Richard Montgomery)将其称为数学史上的经典难题之一。在《科学人》八月号的一篇文章中，他讲述了三体问题的历史以及他和其他数学家在过去二十年中取得的进步。

蒙哥马利说：“它已经向人们挑战了几个世纪，这在一定程度上使它变得有趣。你正在增加牛顿，庞加莱和拉格朗日等人的工作。”

的根本问题是预测三个机构(如恒星或行星)的引力相互吸引的运动，由于其初始位置和速度。事实证明，由于混沌动力学的存在，一般问题的解决基本上是不可能的，这是亨利·庞加莱(HenriPoincaré)在1890年发现的。

蒙哥马利解释说：“有一些针对特殊情况的解决方案，但是没有一个简单的公式可以为您提供一般的解决方案。”

从预测行星轨道和计划太空任务的实际角度出发，可以使用计算机和称为数值积分的过程以高精度计算近似值。这对NASA可能已经足够了，但对数学家却不足够，他们对问题的不断探索导致了数学上的重要进步。

掉猫

三体问题将数学的三个不同分支联系在一起：拓扑，几何和动力学。蒙哥马利说，这就是20多年前引起他兴趣的原因。他一直在研究与猫如何着陆有关的数学和物理问题，这在控制理论和卫星定向中都有应用。

蒙哥马利说：“直到猫只由三个点组成的时候，我一直在简化问题。” 然后，一位同事将他转给另一位一直在研究类似观点的数学家，不久之后，他就从掉落的猫变成了天体力学。蒙哥马利听说天体力学的最佳人才是在巴黎，蒙哥马利在巴黎休假期间与巴黎狄德罗大学的阿兰·陈辛纳(Alain Chenciner)合作解决了三体问题。

他们于2000年发布的第一项主要成果之一是重新发现并证明了八字形解决方案，其中三个质量相等的物体围绕八字形环路不断追逐。尽管Santa Fe Institute的Chris Moore于1993年首次使用数值逼近方法找到了该解决方案，但蒙哥马利和Chenciner的重新发现对该领域产生了更大的影响。

蒙哥马利解释说：“我们能够为数字八解提供严格的存在证明，并且我们的方法还使其他人可以泛化该解决方案并找到许多其他有趣的东西。”

对于大于两个的任意数量的物体，对三物体问题的更一般的陈述称为N物体问题。蒙哥马利说，当他在一次会议上首次提出三体八字形的解决方案时，一位听众迅速指出了它应该对四个身体如何工作。不久，数学家们发现了各种等质量N体问题的新轨道。西班牙数学家卡尔斯·西莫(CarlesSimó)将所有群众围绕固定不变的闭合曲线相互追逐而又没有碰撞的周期性解决方案称为“编舞”，他发现了数百个这样的解决方案。

蒙哥马利说：“它创造了一个小型工业，因此我们现在知道了这些编舞的大量内容。”

新方向

多年之后，西莫建议他寻找周期解决方案背后的动力学机制，从而帮助蒙哥马利将三体问题的研究推向了一个新的方向。近年来，这与明尼苏达大学的里克·莫克尔(Rick Moeckel)进行了富有成效的合作。

蒙哥马利关于三体问题的研究产生了新的数学思想，至少目前还没有实际应用。通常情况下，抽象数学概念早在任何人找到它们的实际用途之前就已经发展起来了。

数字八解决方案和其他编排的美学吸引力吸引了许多人。这个概念甚至通过作家刘慈欣(Liccixin)进入了科幻小说，他的小说《三体问题》(The Three-Body Problem)在2015年获得了雨果奖。

但是蒙哥马利说，如果他没有任期，他将永远无法解决这个问题。

他说：“这是一个艰巨的问题，而且你不知道自己是否会取得任何进展。” “但是坚持不懈有时会有所回报。因此，我很欣赏保有权制，并且能够休假与合作者一起工作。与人见面对于共同合作至关重要。”

蒙哥马利在《科学人》的文章中不仅提供了三体问题的详细描述，而且还提供了有关国际合作和个人关系的迷人故事，这些故事使他得以在这个引人注目的数学难题上取得进步。