一元三次方程求根公式的推导过程（一元三次方程求根公式）

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1、方程x^3=1的解为x1=1，x2=-1/2+i√3/2=ω，x3=-1/2-i√3/2=ω^2 ；　　2、方程x^3=A的解为x1=A^(1/3)，x2=A^(1/3)ω，x3=A^(1/3)ω^2 ，　　3、一般三次方程ax^3+bx^2+cx+d=0(a≠0),两边同时除以a,可变成x^3+ax^2+bx+c=0的形式。

2、　　再令x=y-a/3,代入可消去次高项，变成x^3+px+q=0的形式。

3、 　　设x=u+v是方程x^3+px+q=0的解，代入整理得： 　　(u+v)(3uv+p)+u^3+v^3+q=0 ①， 　　如果u和v满足uv=-p/3,u^3+v^3=-q则①成立，　　由一元二次方程韦达定理u^3和V^3是方程y^2+qy-(p/3)^3=0的两个根。

4、 　　解之得，y=-q/2±((q/2)^2+(p/3)^3)^(1/2)， 　　不妨设A=-q/2-((q/2)^2+(p/3)^3)^(1/2),B=-q/2+((q/2)^2+(p/3)^3)^(1/2)， 　　则u^3=A；v^3=B ，　　u= A^(1/3)或者A^(1/3)ω或者A^(1/3)ω^2 ；　　v= B^(1/3)或者B^(1/3)ω或者B^(1/3)ω^2 ，　　但是考虑到uv=-p/3，所以u、v只有三组解： 　　u1= A^(1/3)，v1= B^(1/3)； 　　u2=A^(1/3)ω，v2=B^(1/3)ω^2；　　u3=A^(1/3)ω^2，v3=B^(1/3)ω， 　　最后：　　方程x^3+px+q=0的三个根也出来了，即 　　x1=u1+v1=A^(1/3)+B^(1/3)； 　　x2=A^(1/3)ω+B^(1/3)ω^2； 　　x3=A^(1/3)ω^2+B^(1/3)ω。

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