圆的认识优质课视频（圆的认识）

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1、圆的基本知识 圆定义 圆的定义有两个 其一：平面上到定点的距离等于定长的点的集合叫圆。

2、 其二：平面上一条线段，绕它的一端旋转360°，留下的轨迹叫圆。

3、概括 把一个圆按一条直线对折过去，并且完全重合，展开再换个方向对折，折出后，这些折痕相交的一个点，叫做圆心，用字母O表示。

4、连接圆心和圆上的任意一点的线段叫做半径，用字母r表示。

5、通过圆心并且两端都在圆上的线段叫做直径，用字母d表示。

6、圆心决定圆的位置，半径和直径决定圆的大小。

7、在同一个圆或等圆中，半径都相等，直径也都相等，直径是半径的2倍，半径是直径的1/2。

8、 用字母表示是：d=2r或r=d/2圆的相关量 圆周率：圆周长度与圆的直径长度的比值叫做圆周率，它是一个无限不循环的小数通常用π表示，π=3.1415926535...，在实际应用中我们只取它的近似值，即π≈3.14（在奥数中一般π只取3、3.1416或3.14159） 圆弧和弦：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧(arc)。

9、大于半圆的弧称为优弧，小于半圆的弧称为劣弧。

10、连接圆上任意两点的线段叫做弦(chord)。

11、圆中最长的弦为直径(diameter)。

12、 圆心角和圆周角：顶点在圆心上的角叫做圆心角。

13、顶点在圆周上，且它的两边分别与圆有另一个交点的角叫做圆周角。

14、 内心和外心：和三角形三边都相切的圆叫做这个三角形的内切圆，其圆心称为内心。

15、过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，其圆心叫做三角形的外心。

16、 扇形：在圆上，由两条半径和一段弧围成的图形叫做扇形。

17、圆锥侧面展开图是一个扇形。

18、这个扇形的半径称为圆锥的母线。

19、 【圆和圆的相关量字母表示方法】 圆—⊙ 半径—r或R（在环形圆中外环半径表示的字母） 弧—⌒ 直径—d 扇形弧长／圆锥母线—l 周长—C 面积—S圆和其他图形的位置关系 圆和点的位置关系：以点P与圆O的为例（设P是一点，则PO是点到圆心的距离），P在⊙O外，PO＞r；P在⊙O上，PO＝r；P在⊙O内，0≤PO＜r。

20、 直线与圆有3种位置关系：无公共点为相离；有两个公共点为相交,这条直线叫做圆的割线；圆与直线有唯一公共点为相切，这条直线叫做圆的切线，这个唯一的公共点叫做切点。

21、以直线AB与圆O为例（设OP⊥AB于P，则PO是AB到圆心的距离）：AB与⊙O相离，PO＞r；AB与⊙O相切，PO＝r；AB与⊙O相交，0≤PO＜r。

22、 两圆之间有5种位置关系：无公共点的，一圆在另一圆之外叫外离，在之内叫内含；有唯一公共点的，一圆在另一圆之外叫外切，在之内叫内切；有两个公共点的叫相交。

23、两圆圆心之间的距离叫做圆心距。

24、两圆的半径分别为R和r，且R≥r，圆心距为P：外离P＞R+r；外切P=R+r；相交R-r＜P＜R+r；内切P=R-r；内含P＜R-r。

25、圆的面积与周长计算公式 在以下几个算式中，“C代表周长”，“S代表面积”，“R代表半径，“D代表直径”。

26、 S圆=π×R² C圆=2πR或πD编辑本段圆的平面几何性质和定理一有关圆的基本性质与定理 ⑴圆的确定：画一条线段，以线段长为半径以一端点为圆心画弧绕360度后得到圆。

27、 圆与直线相切圆的对称性质：圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条通过圆心的直线。

28、圆也是中心对称图形，其对称中心是圆心。

29、 垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的2条弧。

30、逆定理：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的2条弧。

31、 ⑵有关圆周角和圆心角的性质和定理 在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两个圆周角，两组弧，两条弦，两条弦心距中有一组量相等，那么他们所对应的其余各组量都分别相等。

32、 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。

33、 直径所对的圆周角是直角。

34、90度的圆周角所对的弦是直径。

35、 如果一条弧的长是另一条弧的2倍，那么其所对的圆周角和圆心角是另一条弧的2倍。

36、 ⑶有关外接圆和内切圆的性质和定理 ①一个三角形有唯一确定的外接圆和内切圆。

37、外接圆圆心是三角形各边垂直平分线的交点，到三角形三个顶点距离相等； ②内切圆的圆心是三角形各内角平分线的交点，到三角形三边距离相等。

38、 ③R=2S△÷L（R：内切圆半径，S：三角形面积，L：三角形周长） ④两相切圆的连心线过切点（连心线：两个圆心相连的直线） ⑤圆O中的弦PQ的中点M，过点M任作两弦AB，CD，弦AD与BC分别交PQ于X，Y，则M为XY之中点。

39、 （4）如果两圆相交，那么连接两圆圆心的线段（直线也可）垂直平分公共弦。

40、 （5）圆心角的度数等于它所对的弧的度数。

41、 （6）圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半。

42、 （7）弦切角的度数等于它所夹的弧的度数的一半。

43、 （8）圆内角的度数等于这个角所对的弧的度数之和的一半。

44、 （9）圆外角的度数等于这个角所截两段弧的度数之差的一半。

45、有关切线的性质和定理 圆的切线垂直于过切点的半径；经过半径的一端，并且垂直于这条半径的直线，是这个圆的切线。

46、 切线的判定方法：经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。

47、 切线的性质：（1）经过切点垂直于这条半径的直线是圆的切线。

48、（2）经过切点垂直于切线的直线必经过圆心。

49、（3）圆的切线垂直于经过切点的半径。

50、 切线长定理：从圆外一点到圆的两条切线的长相等，那点与圆心的连线平分切线的夹角。

51、 〖有关圆的计算公式〗 1.圆的周长C=2πr=πd 2.圆的面积S=πr^2; 3.扇形弧长l=nπr/180 4.扇形面积S=(nπr^2)/360=lr/2(l为扇形的弧长）5.圆锥侧面积S=πrl 6.圆锥侧面展开图（扇形）的圆心角n=360r/l(r是底面半径,l是母线长) 切割线定理 圆的一条切线与一条割线相交于p点，切线交圆于C点，割线交圆于A B两点 ， 则有pC^2=pA·pB 割线定理 与切割线定理相似 两条割线交于p点，割线m交圆于A1 B1两点，割线n交圆于A2 B2两点 则pA1·pB1=pA2·pB2编辑本段圆的解析几何性质和定理圆的解析几何方程 圆的标准方程：在平面直角坐标系中，以点O（a，b）为圆心，以r为半径的圆的标准方程是(x-a)^2+(y-b)^2=r^2。

52、 圆的一般方程：把圆的标准方程展开，移项，合并同类项后，可得圆的一般方程是x^2+y^2+Dx+Ey+F=0(其中D^2+E^2-4F＞0）。

53、其中和标准方程对比，其实D=-2a，E=-2b，F=a^2+b^2-r^2。

54、该圆圆心坐标为（-D/2,-E/2)，半径r=0.5√D^2+E^2-4F。

55、 圆的参数方程：以点O（a，b）为圆心，以r为半径的圆的参数方程是 x=a+r*cosθ, y=b+r*sinθ, (其中θ为参数) 圆的端点式：若已知两点A(a1,b1),B(a2,b2)，则以线段AB为直径的圆的方程为 (x-a1)(x-a2)+(y-b1)(y-b2)=0 圆的离心率e=0，在圆上任意一点的曲率半径都是r。

56、 经过圆 x^2+y^2=r^2上一点M（a0，b0）的切线方程为 a0*x+b0*y=r^2 在圆(x^2+y^2=r^2)外一点M（a0，b0）引该圆的两条切线，且两切点为A,B，则A,B两点所在直线的方程也为 a0*x+b0*y=r^2圆与直线的位置关系判断 平面内，直线Ax+By+C=0与圆x^2+y^2+Dx+Ey+F=0的位置关系判断一般方法是： 1.由Ax+By+C=0，可得y=（-C-Ax）／B，（其中B不等于0），代入x^2+y^2+Dx+Ey+F=0，即成为一个关于x的一元二次方程f（x）=0。

57、利用判别式b^2-4ac的符号可确定圆与直线的位置关系如下： 如果b^2-4ac>0，则圆与直线有2交点，即圆与直线相交。

58、 如果b^2-4ac=0，则圆与直线有1交点，即圆与直线相切。

59、 如果b^2-4ac<0，则圆与直线有0交点，即圆与直线相离。

60、 2.如果B=0即直线为Ax+C=0，即x=-C／A，它平行于y轴（或垂直于x轴），将x^2+y^2+Dx+Ey+F=0化为(x-a)^2+(y-b)^2=r^2。

61、令y=b，求出此时的两个x值xx2，并且规定x1x2时，直线与圆相离； 当x1 (x+D/2)^2+(y+E/2)^2=D^2/4+E^2/4-F => 圆心坐标为(-D/2,-E/2) 其实只要保证X方Y方前系数都是1 就可以直接判断出圆心坐标为(-D/2,-E/2) 这可以作为一个结论运用的 且r=根号（圆心坐标的平方和-F）编辑本段圆知识点总结 定义：（1）平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆。

62、 （2)平面上一条线段，绕它的一端旋转360°，留下的轨迹叫圆。

63、 圆心：（1）如定义（1）中，该定点为圆心 （2）如定义（2）中，绕的那一端的端点为圆心。

64、 （3）圆任意两条对称轴的交点为圆心。

65、 （4） 垂直于圆内任意一条弦且两个端点在圆上的线段的二分点为圆心。

66、 注：圆心一般用字母O表示 直径：通过圆心，并且两端都在圆上的线段叫做圆的直径。

67、直径一般用字母d表示。

68、 半径：连接圆心和圆上任意一点的线段，叫做圆的半径。

69、半径一般用字母r表示。

70、 圆的直径和半径都有无数条。

71、圆是轴对称图形，每条直径所在的直线是圆的对称轴。

72、在同圆或等圆中：直径是半径的2倍，半径是直径的二分之一.d=2r或r=二分之d。

73、 圆的半径或直径决定圆的大小，圆心决定圆的位置。

74、 圆的周长：围成圆的曲线的长度叫做圆的周长，用字母C表示。

75、 圆的周长与直径的比值叫做圆周率。

76、 圆的周长除以直径的商是一个固定的数，把它叫做圆周率，它是一个无限不循环小数（无理数），用字母π表示。

77、计算时，通常取它的近似值，π≈3.14。

78、 直径所对的圆周角是直角。

79、90°的圆周角所对的弦是直径。

80、 圆的面积公式：圆所占平面的大小叫做圆的面积。

81、πr^2，用字母S表示。

82、 一条弧所对的圆周角是圆心角的二分之一。

83、 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦心距也相等。

84、 在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么他们所对的圆心角相等，所对的弦相等，所对的弦心距也相等。

85、 在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么他们所对的圆心角相等，所对的弧相等，所对的弦心距也相等。

86、 周长计算公式 1.、已知直径：C=πd 2、已知半径：C=2πr 3、已知周长：D=cπ 4、圆周长的一半:12周长(曲线) 5、半圆的长：12周长+直径 面积计算公式： 已知半径：S=πr平方 2、已知直径：S=π（d2）平方 3、已知周长：S=π(c2π)平方 圆的种类： （1）整体圆形，（2）弧形圆，（3）扁圆，（4）椭形圆，（5）缠丝圆，（6）螺旋圆，（7）圆中圆、圆外圆，（8）重圆，（9）横圆，（10）竖圆，（11）斜圆。

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