使用计算机破解百年数学难题

在数学中，没有研究人员真正孤立地工作。即使是那些独自工作的人，也会利用他们的同事和前辈的定理和方法来发展新的想法。但是当已知的技术在实践中太难使用时，数学家可能会忽略重要的——否则可以解决的——问题。

最近，我与几位数学家一起进行了一个项目，以使这样一种技术更易于使用。我们制作了一个计算机包来解决一个称为“S 单位方程”的问题，希望各行各业的数论家能够更轻松地解决数学中各种未解决的问题。

丢番图方程

在他的著作《算术》中，数学家丢番图研究了代数方程，其解必须为整数。碰巧的是，这些问题与数论和几何都有很大关系，从那时起数学家就一直在研究它们。

为什么要添加这个仅限整数解的限制?有时，原因是实际的;养13.7只羊或买-1.66辆汽车没有意义。此外，数学家被这些问题所吸引，现在称为丢番图方程。魅力来自他们惊人的难度，以及他们揭示数学本质的基本真理的能力。

事实上，数学家通常对任何特定丢番图问题的具体解决方案不感兴趣。但是，当数学家开发新技术时，他们的能力可以通过解决以前未解决的丢番图方程来证明。

安德鲁怀尔斯对费马大定理的证明就是一个著名的例子。皮埃尔·德·费马于 1637 年在“算术”副本的页边空白处声称已经解决了丢番图方程 xⁿ + yⁿ = zⁿ，但没有提供任何证明。当怀尔斯在 300 多年后证明了这一点时，数学家们立即注意到了这一点。如果怀尔斯提出了一个可以解决费马问题的新想法，那么这个想法还能做什么?数论家争先恐后地理解怀尔斯的方法，将它们概括并发现新的结果。

不存在可以求解所有丢番图方程的单一方法。相反，数学家培养了各种技术，每种技术都适用于某些类型的丢番图问题，但不适用于其他问题。因此，数学家根据它们的特征或复杂性对这些问题进行分类，就像生物学家可能通过分类法对物种进行分类一样。

更精细的分类

这种分类产生了专家，因为不同的数论家专门研究与丢番图问题的不同系列相关的技术，例如椭圆曲线、二元形式或Thue-Mahler 方程。

在每个系列中，可以自定义更精细的分类。数学家开发了不变量——出现在方程中的系数的某些组合——可以区分同一族中的不同方程。计算特定方程的这些不变量很容易。然而，与其他数学领域的更深层次联系涉及更雄心勃勃的问题，例如：“是否存在具有不变 13 的椭圆曲线?” 或“有多少二进制形式具有不变的 27?”

S 单位方程可用于解决许多这些更大的问题。S 指的是与特定问题相关的素数列表，例如 {2, 3, 7}。S-unit 是一个分数，它的分子和分母仅通过将列表中的数字相乘而形成。所以在这种情况下，3/7 和 14/9 是 S 单位，但 6/5 不是。

S 单位方程的表述看似简单：找出所有加到 1 的 S 单位对。找到一些解，例如 (3/7, 4/7)，可以用纸笔完成。但关键词是“全部”，这就是使问题在理论上和计算上都变得困难的原因。您如何确定已找到所有解决方案?

原则上，数学家已经知道如何求解 S 单位方程好几年了。然而，这个过程是如此复杂，以至于没有人能真正用手解出这个方程，而且很少有案例被解决。这是令人沮丧的，因为许多有趣的问题已经被简化为“只是”解决某些特定的 S 单位方程。

求解器的工作原理

然而，情况正在发生变化。自 2017 年以来，包括我在内的北美六位数论学家一直在为开源数学软件SageMath构建 S 单位方程求解器。3月3日，我们宣布项目竣工。为了说明它的应用，我们使用该软件解决了几个开放的丢番图问题。

S 单位方程的主要困难在于，虽然只有少数解存在，但有无限多个 S 单位可以作为解的一部分。通过结合Alan Baker 的著名定理和Benne de Weger的精细算法技术，求解器消除了大多数 S 单位的考虑。即使在这一点上，可能还有数十亿个或更多的 S 单元需要检查;该程序现在尝试使最终搜索尽可能高效。

这种 S 单位方程的方法已经为人所知 20 多年，但一直很少使用，因为所涉及的计算既复杂又耗时。以前，如果数学家遇到想要求解的 S 单位方程，则没有自动求解的方法。她必须仔细地逐步完成 Baker、de Weger 和其他人的工作，然后编写自己的计算机程序来进行计算。运行该程序可能需要数小时、数天甚至数周才能完成计算。

我们希望该软件能够帮助数学家解决数论中的重要问题，增强他们对数学本质、美感和有效性的理解。

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