数学家使用动力学思想来洞察空间的几何形状

史蒂文弗兰克尔不饿。他只想谈谈面条。弗兰克尔正在想象一大碗面条——以及这些面条是否以及何时会自己绕回自己身上——从某种宇宙面食制造商那里无限挤压出来，就像它们可能一样。

面条是圣路易斯华盛顿大学艺术与科学数学助理教授弗兰克尔的一种简化方式，用于描述空间几何形状与空间动态之间的联系——空间如何随时间变化。这是他在他所在领域的领先期刊《数学年鉴》上发表的第一篇个人论文的一部分。

几何学家和动力学家倾向于在数学中形成两个独立的阵营，但弗兰克尔更喜欢将这些东西结合起来思考。他并不孤单。2018 年 6 月，他前往深圳，在国际动力系统会议上展示了他的一些工作。

“你可以使用一些动力学思想来深入了解空间的几何形状，”弗兰克尔说。“它为你提供了一些将 3D 空间分解为一维链的方法。并且你可以希望，如果你能理解这些一维链，那么你也了解它们是如何组合在一起的——以深入了解你的空间。”

将流动想象为运动中的浅层液体。如果您可以识别该流中的单个分子，并跟踪它如何随时间移动，您可以想象构建一种地图，显示该点的位置和时间。

如果不是在片材的表面上移动，而是在具有不同几何特性的三维空间中移动，您仍然可以随时间构建一个点位置的地图。但是地图看起来会有所不同：空间将被代表每个点的路径的线或曲线填满——又是那些面条。

弗兰克尔的新论文《准测线流的粗双曲性和闭合轨道》证明了芝加哥大学数学家丹尼·卡莱加里的猜想，他是弗兰克尔的前顾问和导师。Calegari 预测这些流动将有封闭的轨道——这意味着它们中的一些必然会流回到它们开始的地方;弗兰克尔做了繁重的工作来证明这是真的。

弗兰克尔说：“这些出现的动力学现象(例如，静止点和重复点)与代表这种动力学结构的潜在空间的大规模结构之间存在关系。”

Frankel 在 Cooper Union 读本科时开始从事工程学，但很快就发现了他对纯数学的热情。他完成了博士学位。2011 年跟随 Calegari 从加州理工学院来到英国后，于 2013 年在剑桥大学获得博士学位。 Frankel 随后在耶鲁大学教授了四年数学。

2017 年秋季，他在华盛顿大学教了他的第一堂课。

“每个学生都很棒，”弗兰克尔在谈到图论高级课程的本科生时说。“不是每个人都是超级巨星。但是，到最后，每个人都可以在课堂中问问题——并在他们认为我错了时打断我。

“他们真的很专注于学习，”弗兰克尔说。“我不能夸大这有多重要。

“有一个神话，即学习数学就是记住一堆定理并学习如何将它们连接在一起，”他说。“最好的学习方法是记住一个问题——并仔细研究它，并尝试自己回答它。这需要学生一定程度的参与，这是你在任何地方都找不到的。”

这让我们回到了面，以及他论文中的主要发现。

“这是最愚蠢但仍然准确的方式来表达这篇论文所说的内容，”弗兰克尔说。“如果你有一个碗，里面装满了不会堆积太多的面条，那么其中一些面条必须形成环。”

但是面条是扁面条吗?还是通心粉?

弗兰克尔不会让你觉得问这个很傻。(答案：扁面条)

“数学的问题在于没有明显的问题，”弗兰克尔说。“在数学中，没有明显的问题，因为你不是在处理眼前的物体。”

他很快就指出了前几代人的影响，以及他周围人在一个部门的当前工作。

“数学是一项社区活动，而不是个人活动，”弗兰克尔说。“我不能只是告诉自己坐在那个座位上思考。我不能指示自己突然想出一些有趣的东西。

“出于某种原因，这只是我们的思维方式。你需要被某些东西引导。你在数学中发现的问题或猜想——它们本身可能很有趣，它们可能会因为它们引导你而有趣，“ 他说。“找到要问的正确问题与能够回答这些问题一样重要——如果不是更重要的话。”

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