零点定理的条件（零点定理）

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1、设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，且f(a)与 f(b)异号（即f(a)× f(b)<0），那么在开区间（a,b）内至少有函数f(x)的一个零点，即至少有一点ξ（a<ξ

2、　　证明：不妨设f(a)<0,f(b)>0.令　　E={x|f(x)<0,x∈[a,b]}.　　由f(a)<0知E≠Φ,且b为E的一个上界，于是根据确界存在原理，　　存在ξ=supE∈[a,b].　　下证f(ξ)=0（注意到f(a)≠0,f(b)≠0,故此时必有ξ∈(a,b).）.事实上，　　(i)若f(ξ)>0,则ξ∈[a,b).由函数连续的局部保号性知　　存在x1∈(ξ,b):f(x1)<0→存在x1∈E:x1>supE,　　这与supE为E的上界矛盾；　　(ii)若f(ξ)<0,则ξ∈(a,b].仍由函数连续的局部保号性知　　存在δ>0,对任意x∈(ξ-δ,ξ):f(x)>0→存在δ>0,对任意x∈E:x<ξ-δ,　　这又与supE为E的最小上界矛盾。

3、　　综合(i)(ii)，即推得f(ξ)=0。

4、　　我们还可以利用闭区间套定理来证明零点定理。

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