数学教授和学生一起进行随机漫步

有些人喜欢在树林中随意漫步，而另一些人则可能漫步在自己的社区中。实际上，在数学世界中，随机游走比这更随机。这等同于掷硬币来决定每一步的方向。最近，加州理工学院的经济学和数学教授Omer Tamuz，以及他的两名研究生Joshua Frisch和Pooya Vahidi Ferdowsi，以及他们来自以色列本古里安大学的同事Yair Hartman，解决了长期以来与随机相关的数学问题走。该解决方案于去年夏天发表在《数学年鉴》(Annals of Mathematics)上。

塔姆兹说：“我记得与学生谈论过我们对这个问题的认识，然后第二天早上我发现他们熬夜直到深夜才知道。”

Frisch说：“我们很幸运，这个项目实际上为我们提供了我们想要的解决方案。在数学项目中，这是非常罕见的。” “大约90%的项目正在工作，您将无法解决。大约10%的项目，您将开始取得进步，并且工作更加艰巨。即使那样，您也不会总是解决这些问题。成为数学家已经习惯了失败。有时候您要从事数月的工作，不得不放弃并继续进行下一个项目。”

数学家想象在具有不同尺寸和几何形状的空间中随机行走。在这项新研究中，加州理工学院的团队设想在“组”上随机行走，这些组可以具有非常不同的几何形状。对于某些群体，经过大量时间后，随机游走最终将收敛到特定方向。在这种情况下，步行被认为是依赖于路径的，这意味着一开始发生的事情会影响结果。或者，换句话说，在步行过程中发生的某些事情会影响其到达的位置。但是对于其他群体来说，步行的方向并没有收敛，他们的历史也不会影响他们的未来。

“对于一个随机的过程，从长远来看，是否真的会洗掉一切，不管发生了什么事，无论发生什么事情，都会发生吗?还是对以前发生的事情有记忆?” 问塔木兹。“假设你有两个社会，其中一个做了一些技术进步，而另一个遭受自然灾害。这些区别会永远持续下去，还是会最终消失，我们会忘记曾经有一个优势?在随机走路时，人们早已知道有些组具有这些记忆，而其他组中的记忆会被擦除，但是目前尚不清楚哪些组具有此属性，哪些组不具有此属性，也就是说，什么使一个组具有内存?这就是我们想出的。”

塔穆兹说，解决方案与寻找“描述各组代数性质的几何方法”有关。要了解其要点，请想一想。您可以用几何方式描述圆(作为到一个点的给定距离处的所有点的集合)，也可以用代数方程式描述它。在随机游走问题的情况下，数学家找到了一种新的思维方式来思考他们所研究的群体的几何和代数性质之间的联系。

Ferdowsi说：“一旦弄清了这种联系，解决问题的难易程度实际上使我们感到震惊。”他解释说，尽管解决方案“刚刚流出来”，但在他任职期间，团队面临着“相当大的”延迟。的原籍国，无法获得签证以返回加州理工学院。“最后，我们很高兴解决了一个长期存在的数学难题。”

Frisch说，他们对这个数学问题的大认识实际上是从以前的难题中获得的，而以前的难题要难得多。他说：“我已经为此花了几个月的力气，无法取得任何进展，但是后来，我们有了这个尤里卡的想法，不仅适用于当时的工作，还适用于最近的工作。当您意识到“哦，我的天哪，这实际上可以正常工作”时，感觉真的很好。

在数学研究年鉴，题为“的Choquet，拒绝组和无限的共轭类属性，”是由国家科学基金会和西蒙斯基金会的支持。

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