数学模型揭示了咖啡晃动的解决方案

人平均每天喝 3.1 杯咖啡;对于许多人来说，这种流行的饮料是早晨的必需品。搬运液体时，常识告诉我们要慢慢走，不要把容器装得过满。但是，当通勤者手里拿着咖啡冲出门时，他们的匆忙很可能会导致一些热的液体从杯子里溢出。由此产生的溢出、混乱和轻度烧伤无疑抵消了咖啡的咸味好处。

当液体容器——杯子里的咖啡、桶里的水、油轮里的液化天然气等——围绕一个固定位置附近的共振频率水平摆动时，就会发生晃动;当搬运或移动容器时会发生这种运动。虽然几乎所有的运输容器都有刚性手柄，但带有枢轴手柄的桶允许围绕中心轴旋转并大大减少溢出的机会。尽管对于大多数饮料来说这不一定是现实的移动解决方案，但减轻或消除晃动肯定是可取的。在最近发表在SIAM Review 上的一篇文章中, Hilary 和 John Ockendon 使用令人惊讶的简单数学来开发晃动模型。他们的模型包括一个放在光滑水平桌子上的杯子，它通过弹簧连接在一个方向上摆动。“我们选择了数学上最简单的模型来理解摆动问题上摆锤作用的基本机制，”J. Ockendon 说。

作者的灵感来自一篇搞笑诺贝尔奖获奖论文，该论文描述了一个基本的机械模型，该模型研究了拿着一杯咖啡向后走的结果。他们使用牛顿物理定律和流体动力学的基本特性来采用所谓的“范式”配置，这解释了摇篮如何引入额外的自由度，进而改变液体的响应。“范式模型包含与钟摆相同的机制，但写起来更简单，”奥肯登说。“我们在范式模型上发现了一些实验结果，这意味着我们可以进行一些直接比较。”

作者评估了这种情况，而不是更现实但更复杂地使用杯子作为摇篮，像简单的钟摆一样移动。为了进一步简化他们的模型，他们假设所讨论的杯子是矩形的并进行二维运动，即不存在垂直于弹簧作用方向的运动。因为咖啡最初是静止的，所以流动总是无旋的。“我们的模型考虑了悬挂在一个枢轴上的水箱中的晃动，该枢轴以接近水箱中液体最低晃动频率的频率水平振荡，”Ockendon 说。“在过去的 40 年里，我们一起写了几篇关于经典晃动的论文，但直到最近，我们才受到这些观察的刺激，开始考虑钟摆效应。”

初始模型中的变量代表 (i) 手在固定位置附近移动，(ii) 行走频率，通常在 1-2 赫兹之间，以及 (iii) 将握手连接到杯子的弹簧，杯子在杯子上滑动桌子的光滑表面。Ockendon 和 Ockendon 最感兴趣的是弹簧对液体运动的影响。

作者通过变量分离求解模型方程，并用响应图分析了后续结果，该响应图描述了晃动幅度对强迫频率的依赖性。杯子的边界条件假设液体和杯子的法向速度相同，并且振荡的幅度很小。Ockendon 和 Ockendon 将边界条件线性化，以避免在没有显式解的情况下求解非线性自由边界问题。他们记录了容器的运动方程，以耦合液体和弹簧的运动。在这种情况下，弹簧的张力和容器壁上的压力是作用的水平力。

作者发现，在容器和提手(强制机制)之间加入一根绳子或钟摆会降低刚性并显着降低最低共振频率，从而减少几乎所有频率的晃动。“我们的模型表明，与无枢轴水箱相比，如果摆的长度大于水箱的长度，最低共振响应的幅度将显着降低，”Ockendon 说。

总之，Ockendon 和 Ockendon 使用简单的建模和分析来解释几乎每个人都会经历的常见现象。他们建议未来的分析人员研究圆柱形而不是矩形杯子中的晃动，或者垂直而不是水平振荡，因为这两个因素都会使模型复杂化。人们还可以检查弹簧作用对系统在共振附近的非线性行为的影响。最终，研究人员可以利用这项研究的基本思想来考虑浅水晃荡的非线性响应，它具有多种实际应用。

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